Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций

Теорема 8 (теорема Больцано–Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и , то для любого C, заключённого между A и B, существует такая точка, , что .

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.

Доказательство. Пусть для определённости  и A < C < B. Разделим отрезок [a, b] точкой x0 на два равных по длине отрезка; тогда либо  и, значит, искомая точка x = x0 найдена, либо  и тогда на концах одного из полученных отрезков функция f принимает значения, лежащие по разные стороны от числа C, точнее – на левом конце значение, меньшее C, на правом – большее.

Обозначим этот отрезок [a1, b1] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конечное число придём к искомой точке x, в которой , либо получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], по длине стремящихся к нулю и таких, что

 . (19.8)

Пусть x – общая точка всех отрезков [an, bn]. Как известно, . Поэтому, в силу непрерывности функции f,

 . (19.9)

Из (19.8) же получим

 . (19.10)

Из (19.9) и (19.10) следует, что . □

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Это следствие – частный случай теоремы (см. рисунок).

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и . Тогда функция f принимает все значения из отрезка [m, M] и только эти значения.

Для доказательства следствия заметим, что если , то  и, согласно теореме 7, существуют такие точки , что . Теперь рассматриваемое следствие непосредственно вытекает из теоремы 8, применённой к отрезку [ab], если a£b, или, соответственно, к отрезку [ba], если a>b.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.


Неопределенный интеграл лекции и задачи