Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Непрерывность на отрезке

Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 6. Пусть функция f строго возрастает (убывает) на некотором множестве XÌ¡ и пусть Y – множество её значений. Тогда обратная функция f является однозначной строго возрастающей (строго убывающей) функцией на множестве Y.

Доказательство. Пусть для определённости функция f строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная функция однозначна.

Допустим противное. Пусть существует такая точка yÎY, что множество  содержит, по крайней мере, две различных точки x1 и x2:

 ,

и, следовательно,

 . (20.1)

Для двух чисел x1 и x2, x1 ¹ x2 справедливо одно из двух неравенств: x1<x2 или x1 > x2; в первом случае, в силу строгого возрастания функции f, имеем f(x1) < f(x2), а во втором f(x1) > f(x2), т. е. в обоих случаях равенство (20.1) не выполняется. Таким образом, для каждого yÎY множество  состоит в точности из одной точки, т. е. функция  однозначна.

Докажем теперь, что функция  строго возрастает на множестве Y. Пусть

  (20.2)

и пусть . Следовательно, . Для любых двух чисел x1 и x2 справедливо одно из трёх соотношений: либо x1 > x2, либо x1 = x2, либо x1 < x2. Если x1 > x2 или x1 = x2, то, соответственно, было бы y1 > y2 (в силу строгого возрастания функции f) или y1 = y2 (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству (20.2). Таким образом, из неравенства (20.2) следует, что x1<x2, а это и означает строгое возрастание функции   на множестве Y.

В случае строго убывающей на множестве функции f доказательство можно провести аналогичным образом. □

Теорема 9. Пусть функция f определена, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке [a, b]; тогда обратная функция  определена, однозначна, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b).

Доказательство. Проведём доказательство теоремы для строго возрастающих функций. Пусть . В этом случае , поэтому из следствия 2 теоремы 8 следует, что множеством значений функции f является отрезок [c, d], т. е. [c, d] – область определения обратной функции .


Неопределенный интеграл лекции и задачи