Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Непрерывность на отрезке

В силу леммы 6, функция  однозначная и строго возрастает на отрезке [c, d].

Покажем, что функция  непрерывна на [c, d]. Пусть  и . Пусть , т. е. y0 – внутренняя точка отрезка [c, d], тогда, в силу строгого возрастания функции , . Зафиксируем некоторое e>0. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать, что e таково, что

 . (20.3)

Пусть . Тогда из условия (20.3), в силу строгого возрастания f, следует, что .

Возьмём d>0 так, чтобы  (см. рисунок). Если теперь выбрать y таким, что , то, тем более,  и, следовательно, в силу строгого возрастания функции , справедливо неравенство

.

Таким образом, для e > 0 указано такое d > 0, что для всех  выполняется неравенство

 ,

т. е. функция  непрерывна в точке y0. Если теперь y0 = c или y0 = d, то аналогичными рассуждениями доказывается, что функция  непрерывна справа в точке c и непрерывна слева в точке d. Теорема для строго возрастающих функций доказана.

В случае строго убывающей функции f доказательство можно провести аналогичным образом. □


Неопределенный интеграл лекции и задачи