Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Предел функции свойства пределов

Равномерная непрерывность

Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется равномерно непрерывной на нём, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых двух точек  таких, что , выполняется неравенство .

Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нём: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке.

Теорема 10 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что на некотором отрезке [a, b] существует непрерывная, однако не равномерно непрерывная на нём функция f. Это означает, что существует такое e > 0, что для любого d > 0 найдутся такие точки , что , но . В частности, для  найдутся такие точки, обозначим их , что , но .

Из последовательности точек  в силу её ограниченности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим её предел x0:

  .

Поскольку , то . Функция f непрерывна в точке x0, поэтому

 . (20.4)

Подпоследовательность  последовательности  также сходится к точке x0, ибо при k®¥

  .

Поэтому

 . (20.5)

Из (20.3) и (20.4) следует, что

  ,

а это противоречит условию, что при всех k выполняется неравенство

 .

Полученное противоречие доказывает теорему. □

Пример. Показать, что непрерывная на интервале  функция  не является равномерно непрерывной на нём.


Неопределенный интеграл лекции и задачи