Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производная и дифференциал

Если для некоторого значения x0 существуют пределы , или , или , то говорят, что при x=x0 существует бесконечная производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака, равная +¥ или –¥.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное.

Введём для удобства следующее определение.

Пересечение окрестности точки x0Ρ с лучом x³x0 (x£x0) назовем правосторонней (левосторонней) окрестностью точки x0.

Если функция f определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x0 и существует конечный или бесконечный (определённого знака) предел

 ,

то он называется, соответственно, конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f в точке x0 и обозначается  (или ).

Правая и левая производные называются также правосторонней, соответственно – левосторонней, а и та, и другая – односторонними производными.

Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция , определённая в некоторой окрестности точки x0, имеет производную  тогда и только тогда, когда  и  существуют и . В этом случае .


Неопределенный интеграл лекции и задачи