Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Вычисление производной от функции называется дифференцированием.

Примеры. Вычислить производную функции.

1.   (c – постоянная).

2. .

3. .

4. .

Определение дифференциала функции

Функция , определённая в некоторой окрестности точки x0Ρ, называется дифференцируемой при x = x0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде

  , (21.2)

где A – постоянная.

Линейная функция  (от переменной Dx) называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается  или, короче, dy.

Таким образом, , и .

Последнее равенство можно переписать в виде , где
  – бесконечно малая при  и .

Если A ¹ 0, т. е. если , то дифференцируемость функции в точке x0
означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Dx, приращение функции Dy является линейной функцией от Dx.

Если же A = 0, т. е. , то . Таким образом, при A = 0 приращение Dy является бесконечно малой более высокого порядка, чем Dx, когда .

Для большей симметрии записи дифференциала приращение Dx обозначают dx и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде .

Пример. Найти дифференциал функции .


Неопределенный интеграл лекции и задачи