Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке.

Теорема 1. Для того чтобы функция f была дифференцируемой в некоторой точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную; при этом

 .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, т. е. . Тогда

 .

Поэтому производная  существует и равна A. Отсюда

 .

Достаточность. Пусть существует производная , т. е. существует предел .

Тогда ,

где   и, следовательно, для  справедливо равенство

 .

Полагая здесь , получаем, что в некоторой окрестности точки x0 имеет место равенство

 ,

т. е. равенство (2) при . Таким образом, функция f дифференцируема в точке x0. □

Подчеркнём, что в теореме 1 речь идёт о конечной производной.

Таким образом, дифференцируемость функции  в точке x0 равносильна существованию в этой точке конечной производной .

Из доказанного следует, что коэффициент A в определении дифференциала определён однозначно, причём .


Неопределенный интеграл лекции и задачи