Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

В заключение выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в данной точке.

Теорема 2. Если функция f дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Следствие. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке .

Тогда  ,

что и означает непрерывность функции f при x=x0. □

Следствие непосредственно вытекает из теорем 1 и 2.

Обратим внимание на то, что, если функция имеет в точке бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке.

Заметим, что из непрерывности функции f в данной точке не следует её дифференцируемость или, что равносильно (см. теорему 1), существование производной в этой точке.

Примеры. Показать, что функции  и

 

непрерывны в точке x0=0, но не имеют в этой точке производной.

Если функция f имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то говорят, что функция f дифференцируема на указанном промежутке.


Неопределенный интеграл лекции и задачи