Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Геометрический смысл производной и дифференциала

Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную.

Пусть функция  определена на интервале (a, b) и непрерывна
в точке x0Î(a, b). Пусть , .

Проведём секущую M0M. Она имеет уравнение

  , (22.1)

где . (22.2)

Покажем, что при Dx ® 0 расстояние |M0M| от точки M0 до точки M стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка M стремится к точке M0, и пишут M ® M0). Действительно, в силу непрерывности функции f, при x = x0 имеем . Следовательно, при Dx ® 0

.

Если существует конечный предел , то прямая, уравнение которой

 , (22.3)

получается из уравнения  при D® 0, называется касательной (наклонной касательной) к графику функции f
в точке (x0, y0).

Если , то прямая, уравнение которой

 ,  (22.4)

получается при Dx®0 из уравнения секущей, записанного в виде , называется вертикальной касательной к графику функции f в точке (x0, y0).


Неопределенный интеграл лекции и задачи