Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Геометрический смысл производной и дифференциала

Прямые (22.3) и (22.4) называются предельными положениями прямой (22.1). В силу этого, данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом.

Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.

Заметим теперь, что, в силу равенства (22.2), существование конечного предела  означает существование конечной производной . Следовательно, если у функции f в точке x0 существует конечная производная, то уравнение касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)) имеет вид

 . (22.5)

Если же , т. е. , то, в силу (22.2),  и, следовательно (см. (22.4)), уравнение касательной имеет вид x=x0.

Как известно из аналитической геометрии, коэффициент  в уравнении (22.5) равен тангенсу угла, который рассматриваемая прямая образует с положительным направлением оси Ox: , т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.

Второе слагаемое в правой части уравнения (22.5), т. е. выражение , является дифференциалом dy функции f в точке x0. Следовательно, в силу равенства (22.5), , где y – текущая ордината касательной. Таким образом, дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.

Пример. Найти касательную к параболе  в точке с координатами (1, 1).


Неопределенный интеграл лекции и задачи