Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки x0. Воспользуемся, как и выше, обозначениями . Пусть для определённости Dx>0. Отношение , равное изменению переменной y на отрезке , отнесённому к единице измерения переменной x, естественно назвать значением средней скорости изменения y на отрезке  относительно x. При стремлении Dx к нулю, т. е. при стягивании отрезка  к точке x0, отношение  определяет значение средней скорости изменения переменной y относительно переменной x во всё меньшем и меньшем отрезке, содержащем точку x0. Все сказанное, конечно, справедливо и при Dx<0 для отрезка .

Предел , если он существует, т. е. производную , естественно поэтому назвать скоростью изменения переменной y относительно переменной x в точке x0.

На интерпретации производной как скорости изменения одной величины относительной другой и основано применение производной к изучению физических явлений.

Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции её дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую в точке x0 функцию линейной функцией в достаточно малой окрестности точки x0, т. е. считать, что процесс изменения зависимости переменной «в малом» происходит линейно относительно аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функции прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят, упомянутый процесс «в малом» происходит равномерно. Получающаяся при такой замене погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.


Неопределенный интеграл лекции и задачи