Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры


Правила вычисления производных

Доказательство теоремы. Пусть функции  определены в окрестности U(x0) точки x0,   . Для простоты записи будем иногда опускать обозначение аргумента, рассматривая при этом приращения функций только в точке x0.

Если y = y1 + y2, то

 ,

откуда при  получим

 .

Переходя здесь к пределу при Dx®0 и замечая, что в силу существования производных функций y1 и y2 в точке x0 предел правой части этого равенства существует и равен , получим, что существует и предел его левой части, и имеет место формула (23.1).

Если y = y1y2, то аналогичным образом будем последовательно иметь

 ,

 .

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0: ; кроме того, . Поэтому, перейдя к пределу при Dx®0, из полученного равенства имеем , т. е. формула (23.2) доказана.

Наконец, если  и , то

 .

Отсюда при Dx®0, вспомнив снова, что из существования производной следует непрерывность функции, и, следовательно, получим формулу (23.3).

Следствие 1 сразу вытекает из (23.2), если вспомнить, что . □

Пример. Вычислить производную функций .


Неопределенный интеграл лекции и задачи