Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и пусть при x = x0 существует производная ; тогда обратная функция  имеет производную в точке , причём

 . (23.5)

т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Доказательство. Зафиксируем какую-нибудь окрестность точки x0, в которой функция f определена, непрерывна и строго монотонна, и будем рассматривать f только в этой окрестности. Тогда, как доказано ранее, обратная функция определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку y0 и являющемся образом указанной выше окрестности точки x0. Поэтому если , то Dx®0 равносильно Dy®0 в том смысле, что  (для функции f) и  (для функции ).

Для любых  имеем . При Dx®0 (или, что то же, в силу сказанного выше, при Dy®0) предел правой части существует, значит, существует и предел левой части, причём

  .

Но , поэтому имеет место формула (12). □

Этой теореме можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Как известно, , где a – значение угла, образуемого касательной графика функции f в точке (x0, y0) с осью Ox, а , где b – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy.

Очевидно, b = p/2–a, поэтому

 . (23.5)

Пример. Пользуясь формулой (23.6), вычислить производную функций .


Неопределенный интеграл лекции и задачи