Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производная и дифференциал сложной функции

Условие существования производной сложной функции

Теорема 5. Пусть функция  имеет производную в точке x0, а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  также имеет производную при x = x0, причём

 . (24.1)

Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке x0 производной сложной функции  содержит предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой окрестности точки x0.

Опуская значение аргумента и используя запись производной с помощью дифференциалов, равенство (24.1) можно переписать в виде

 .

Доказательство. Прежде всего, в силу самого определения производной, функция F определена в некоторой окрестности V(y0) точки y0, а так как из существования производной  следует непрерывность функции f, то для указанной окрестности V(y0) существует такая окрестность U(x0) точки x0, что , и, следовательно, для всех xÎU(x0) имеет смысл сложная функция .

Положим . Функция F имеет в точке y0 производную и поэтому дифференцируема в этой точке. Это означает, что её приращение Dz при всех Dy, принадлежащих некоторой окрестности точки y0, может быть представлено в виде

 ,

где e(Dy) – непрерывная в нуле функция и .

Разделив обе части последнего равенства на Dx¹0, получим

 . (24.2)

Функция   имеет производную в точке x0, т. е. существует предел

 . (24.3)

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0:

 .

При Dx = 0 имеем Dy = 0. Следовательно, приращение Dy, рассматриваемое как функция Dx, непрерывно в точке Dx=0. Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соотношениях, содержащих непрерывные функции,

 . (24.4)

Теперь из (24.2), переходя к пределу при Dx®0 в силу (24.3) и (24.4), получим формулу (24.1). □


Неопределенный интеграл лекции и задачи