Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Инвариантность формы первого дифференциала функции

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной):

 . (24.5)

В этой формуле  является дифференциалом функции, а dx – дифференциалом независимой переменной.

Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» – независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.

Докажем это. По теореме 1 , отсюда, применив формулу (24.1) для производной сложной функции, получим , но , поэтому . □

Вычисление производных сложных функций

Пример. Пользуясь формулой (24.1), вычислить производную функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Пусть дифференцируемая функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя тождество  как сложную функцию, можно вычислить производную .

Пример. Вычислить производную функции .


Неопределенный интеграл лекции и задачи