Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Определение производных высших порядков

Пусть функция , определённая на интервале , имеет в каждой точке  производную  и пусть . Если при x = x0 у производной  функции  существует производная, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначается  или .

Таким образом, . Аналогично определяется производная  любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная  порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция , а под производной первого порядка – ), то, по определению, .

Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x0 можно записать в виде предела:

 

Отметим, из предположения, что функция f имеет в точке x0 производную порядка n, отсюда следует, в силу определения последней, что в некоторой
окрестности точки x0 у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n > 1 и все производные более низкого порядка k < n–1, в частности, сама функция определена в некоторой окрестности точки x0. При этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют производную.

Всё сказанное здесь естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка.

Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 1, 2, ...).

При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторонние производные.

Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.

Пример. Вычислить n-ю производную функций  .


Неопределенный интеграл лекции и задачи