Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производные высших порядков суммы и произведения функций

Теорема 6. Пусть функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0; тогда функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0, причём

 ,

 . (25.1)

Здесь, как обычно,  – число сочетаний из n элементов по k.

Формулу (25.1) обычно называют формулой Лейбница.

Доказательство теоремы 6 проводится по индукции. Мы не будем на этом останавливаться.

Следствие. Если c – постоянная, а  – функция, имеющая производную n-го порядка в точке x0, то функция  также имеет производную порядка n при x = x0, причём

 .

Доказательство следует очевидным образом из n-кратного применения формулы (23.4) к функции cy.

Пример. Выписать формулу Лейбница при n = 1, 2, 3, 4.


Неопределенный интеграл лекции и задачи