Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производные высших порядков от сложных функций

Теорема 7. Пусть функция  имеет вторую производную в точке x0, а  – вторую производную в точке . Тогда сложная функция  имеет при x = x0 вторую производную, причём

 .

Доказательство. Поскольку существуют производные  и , существуют также  и . Следовательно, функции  и  непрерывны в точках x0 и y0 соответственно. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция . Дифференцируя эту функцию и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем ; дифференцируя ещё раз по x, получим

 . □

Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.


Неопределенный интеграл лекции и задачи