Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Теорема. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0, и пусть при x=x0 существуют производные  и , причём ; тогда и обратная функция  имеет вторую производную в точке , причём она может быть выражена через значения производных  и .

Пример. Найти локальные экстремумы функции в области

Доказательство. Опуская, как и выше, обозначения аргумента, имеем . Вычисляя производную по y от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем

 . □

Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например , непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности; тогда существует обратная к   функция , и в некоторой окрестности точки   имеет смысл композиция . Эта функция y от x и называется параметрически заданной формулами  функцией.


Неопределенный интеграл лекции и задачи