Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Теорема 9. Если функции  и  имеют в точке t0 производные и если , то параметрически заданная функция  также имеет в точке   производную, причём

 . (26.1)

Если, кроме того, существуют , то существует и , причём

 . (26.2)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента) Интегрирование некоторых тригонометрических функций

 ,

а по правилу дифференцирования обратной функции

 .

Объединяя две последних формулы, получаем формулу (26.1).

Аналогичным образом доказывается формула (26.2):

 . □

Вычисление производных более высокого порядка параметрически заданных функций осуществляется по той же схеме.

Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции

 .


Неопределенный интеграл лекции и задачи