Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Дифференциалы высших порядков

В настоящем пункте для удобства будем иногда вместо символа дифференцирования d писать букву d, т. е. вместо dy, dx писать dy, dx.

Пусть функция  дифференцируема на некотором интервале . Как известно, её дифференциал

  ,

который называется также её первым дифференциалом, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от x (т. е. при некотором фиксированном dx), если для его обозначения использовать символ d, имеет вид

 . Сходимость несобственных интегралов Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует.

Значение дифференциала , т. е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке x0 при dx=dx называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через , т. е.

 .

Здесь и далее .

Подобным же образом в том случае, когда производная (n–1)-го порядка , дифференцируема в точке x0 или, что эквивалентно, когда при x=x0 существует производная n-го порядка , определяется дифференциал n-го порядка  функции  в точке x0 как дифференциал  от дифференциала (n–1)-го порядка , в котором dx=dx:

 .

Можно показать, что для всех  справедлива формула

 ,

т. е. .

Свойства дифференциалов высших порядков аналогичны свойствам производных высших порядков:

 ,

 ,

 .


Неопределенный интеграл лекции и задачи