Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма

В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Напомним, что если функция   определена на некотором множестве X, то говорят, что она принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X, если для всех точек  выполняется неравенство  (неравенство ).

Если для всех  и  выполняется неравенство  (неравенство ), то говорят, что в точке x0 функция  принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве X.

Точки, в которых функция принимает значения (строгого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экстремума. Предел функции в точке Курс лекций по математике

Теорема 10 (теорема Ферма). Пусть функция определена на некотором промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная, то эта производная равна нулю.

Доказательство. Пусть функция  определена в окрестности U(x0) точки x0 и принимает для определённости при x = x0 наибольшее значение, т. е. для всех  выполняется неравенство . Тогда если x < x0,

 , (27.1)

а если x > x0, то

 . (27.2)

По условию теоремы в точке x0 существует конечный предел, поэтому, переходя в неравенствах (21) и (22) к пределу при x ® x0, получим соответственно  и . Следовательно, . □

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x = x0 дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки x0, то касательная к графику функции в точке (x0, f(x0)) параллельна оси Ox.

Замечание. Если функция  принимает наибольшее (наименьшее) значение при x = x0 по сравнению с её значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки x0, и имеет в x0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная может быть не равна нулю. Так, например, функция , рассматриваемая на отрезке , принимает при x = 0 минимальное, а при x = 1 – максимальное значение, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице.

Пример. Найти наименьшее значение функций   на отрезке . Справедлива ли теорема Ферма в этих точках?


Неопределенный интеграл лекции и задачи