Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля

Пусть функция f:

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет в каждой точке интервала  конечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна такая точка x, a < x < b, что . Замена переменного Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так: .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная горизонтальна.

Доказательство. Если для любой точки  выполняется равенство , то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому для любой точки  выполняется условие .

Пусть существует точка , для которой , например, . Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений, существует такая точка , в которой функция f принимает наибольшее значение. Тогда

 .

Поэтому x ¹ a и x ¹ b, т. е. точка x принадлежит интервалу  и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно, согласно теореме Ферма выполняется равенство . □

Из теоремы Ролля следует, что если функция непрерывна на некотором отрезке, обращается в нуль на его концах и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в нуль. Короче говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль её производной.

Замечание. Заметим, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трёх условий теоремы, третье же не выполнялось бы и у которых не существует точки x такой, что .

Функция

 

удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1.

Функция  удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2.

Наконец, функция  удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3.

Для всех этих функций не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.


Неопределенный интеграл лекции и задачи