Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность

Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов. С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой, всех кругов на плоскости, всех многочленов с рациональными коэффициентами и т. д. При этом, говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т. д., причём после каждого такого шага в этом множестве ещё останутся элементы.

Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково это число или же в одном из множеств элементов больше, чем в другом. Спрашивается, можно ли подобным же образом сравнивать бесконечные множества?

Для ответа на этот вопрос нам понадобятся понятия эквивалентности множеств и мощности множеств.

Пусть даны множества A и B, составленные из элементов любой природы. Если каждому элементу aÎA по некоторому правилу ставится в соответствие единственный, вполне определённый элемент bÎB, и обратно, в силу того же самого правила, каждому элементу b¢ÎB соответствует единственный элемент a¢ÎA, то говорят, что между элементами множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие. Будем писать в этом случае a«b.

Пример. Пусть N={1, 2, …, n, …} и M={2, 4, …, 2n, …}. Соответствие n«2n взаимно однозначное. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

Если между элементами множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют эквивалентными и пишут A~B. Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:

1) A~A (рефлексивность),

2) если A~B, то B~A (симметричность),

3) если A~B и B~C, то A~C (транзитивность).


Неопределенный интеграл лекции и задачи