Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема (теорема Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке   и в каждой точке интервала  имеет конечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка x, что

 . (28.1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

  (28.2)

и определим число l так, чтобы , т. е. чтобы . Это равносильно тому, что

  . (28.3) Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя Будем говорить, что отношение двух функций при x a есть неопределенность вида , если  Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.

Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля. Действительно, функция  непрерывна на отрезке , а функция , будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси; поэтому и функция  также непрерывна на отрезке . Функция  имеет в каждой точке интервала  конечную производную, а функция  – конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность  также имеет всюду в интервале  конечную производную. Наконец, на концах отрезка , в силу выбора l, функция F принимает одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая точка x (a < x < b), что . Из (28.2) получаем , поэтому . Подставив сюда l из (28.3), получим

 . □ (28.4)


Неопределенный интеграл лекции и задачи