Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Замечание. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть   – концы графика функции , AB – хорда, соединяющая точки A и B. Тогда отношение  равно тангенсу угла b между хордой AB и осью Ox, т. е.

 ,

а , где a – угол между касательной к графику функции  в точке  и осью Ox. Поэтому равенство (28.4) может быть переписано в виде . Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале  должна найтись точка x (может быть, и не одна: на рисунке условию теоремы удовлетворяют точки x' и x''), в которой касательная к графику параллельна хорде AB. Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание.

Замечание. Приведём другие формы записи формулы (28.1). Пусть a < x < b и . Тогда

 . (28.5)

Наоборот, если x выражается формулой (28.5), то, как легко видеть, a<x<b. Таким образом, в виде (28.5) могут быть представлены все точки интервала  и только они. Поэтому формула (28.1) может быть записана в виде

 . (28.6)

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.

Положим теперь ; тогда (28.6) можно переписать в виде

 . (28.7)

Формулу (28.7), а также каждую из равнозначных ей формул (28.1) и (28.6) называют формулой конечных приращений Лагранжа или просто формулой конечных приращений.


Неопределенный интеграл лекции и задачи