Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на промежутке с концами a и b, , и дифференцируема в его внутренних точках. Выберем на этом промежутке произвольно точки x1 и x2 так, что x1<x2; тогда, очевидно, функция f является непрерывной на отрезке  и дифференцируемой на интервале . Поэтому, по теореме Лагранжа,

 . (28.8)

По условию  на , в частности, , так как . Таким образом, из формулы (28.8) следует, что , а поскольку x1 и x2 – произвольные точки рассматриваемого промежутка, то это и означает, что функция f постоянна на этом промежутке. □

Следствие 2. Если функции f и g непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные , то эти функции отличаются на рассматриваемом промежутке лишь на постоянную: , где C – константа.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она удовлетворяет условиям следствия 1, т. е. F непрерывна на заданном промежутке и  во всех внутренних его точках. Поэтому , т. е. имеет место равенство . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи