Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

О правилах Лопиталя

Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Неопределённости вида

Теорема 14. Пусть функции f и g, определённые на отрезке , таковы, что в некоторой точке : Дифференцирование сложной функции Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке x0 = φ(t0). Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t0 u справедлива следующая формула: 

1) ;

2) существуют производные (односторонние производные, если x=a или x=b) , причём .

Тогда существует предел

  .

Доказательство. Поскольку обе функции дифференцируемы в точке x0, их приращения в окрестности этой точки описываются формулами:

  ,

 .

Отсюда, согласно условию 1, получим, что

  ,

 ,

поэтому

 . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи