Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

О правилах Лопиталя

Теорема 15. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3)  для всех ;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел . Задача. Исследовать ряд на сходимость.

Тогда существует предел .

Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a; доопределим их, положив . Теперь f и g непрерывны в точке a и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении на любом отрезке , где a < x < b. Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое , что

 , (29.1)

причём .

Поэтому, если существует , то из правила замены переменного для пределов функций следует, что существует и . Теперь из (29.1) получаем

 . □

Теоремы 14 и 15 остаются верными с естественными видоизменениями как в случае одностороннего, так и двустороннего предела.


Неопределенный интеграл лекции и задачи