Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Вывод формулы Тейлора

Если функция  имеет в точке x0 производную, то приращение этой функции можно представить в виде

 ,

т. е. .

Иначе говоря, существует линейная функция

   (30.1) Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида

такая, что

 .

Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет n производных в точке x0. Требуется выяснить, существует ли многочлен  степени не выше n такой, что

  , (30.2)

и .  (30.3)

Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (30.1), в виде

  .

Замечая, что  из первого условия (30.3), имеем . Далее,

 ,

отсюда , и, как следует из (30.3), . Затем найдем вторую производную многочлена :

 .

Отсюда и из условия  получим  и вообще

 .

В силу самого построения, для многочлена

 

выполнены все соотношения (30.3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (30.2).

Пусть .

Как было показано ранее, из существования у функции f производной порядка n в точке x0 следует, что все производные функции f до порядка n–1 включительно существуют и непрерывны в точке x0. Поэтому у функции  в точке x0 также существуют производные до порядка n, а в некоторой окрестности этой точки все производные до порядка n–1 включительно и они непрерывны в точке x0.

Из условия (30.3) следует, что

 .

В силу свойств производных функции , для раскрытия неопределённости при x®x0 можно применить правило Лопиталя:

  ,

т. е. действительно

 .


Неопределенный интеграл лекции и задачи