Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Математический анализ лекции и задачи

Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность

Примеры. 1. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой. Из рисунка ясно, как установить между ними биекцию. Именно, точки p и q соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки r вспомогательного отрезка ef.

2. Множество всех чисел в интервале (0, 1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции

 .

Рассматривая приведённые примеры, можно заметить, что иногда бесконечное множество оказывается эквивалентным своему собственному подмножеству. Оказывается, что это свойство справедливо для всех бесконечных множеств, поэтому его можно принять за определение бесконечного множества: множество называется бесконечным, если оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элементов у них одинаково. Из совокупности бесконечных множеств с помощью отношения эквивалентности выделим счётные множества: множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Из свойств эквивалентности следует, что любые два счётных множества эквивалентны между собой.

Примеры. Показать, что следующие множества являются счётными:

1. Множество всех целых чисел.

2. Множество 2, 4, 8,..., 2n, ... степеней числа 2.

3. Множество всех рациональных чисел.

Мощностью произвольного множества A называется то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному множеству A.

Если A – конечное множество, то его мощность совпадает с числом элементов этого множества. Мощность множества натуральных чисел (т. е. любого счётного множества) обозначается символом À0 (читается: «алеф нуль»). Мощность произвольного множества A будем обозначать m(A).

Пусть даны множества A и B. Если A неэквивалентно B, но в A есть подмножество, эквивалентное B, то будем говорить, что мощность A больше мощности B, и писать m(A) > m(B).


Неопределенный интеграл лекции и задачи