Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Докажем теперь единственность многочлена, обладающего свойством (30.2).

Теорема 19. Пусть функция f дифференцируема до порядка n включительно в точке x0, и пусть

  , (31.1)

где   – некоторый многочлен степени, меньшей или равной n. Тогда

 ,

т. е.  является многочленом Тейлора. Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Таким образом, многочлен Тейлора является единственным многочленом, обладающим свойством (30.2), все остальные многочлены той же степени или меньшей «хуже приближают» функцию f при x®x0. Именно в этом смысле и говорят, что многочлен Тейлора является многочленом наилучшего приближения рассматриваемой функции в окрестности данной точки x0 при x®x0.

Доказательство. Из формул (30.4) и (31.1) следует, что

 ,

откуда, перейдя к пределу при x®x0, получим . Отбрасывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на множитель x–x0 (x¹x0) и замечая, что

  ,

где , следовательно, при x®x0 имеет место равенство

  ,

получим

 .

Переходя снова к пределу при x®x0, находим . Продолжая этот процесс, получаем

 . □


Неопределенный интеграл лекции и задачи