Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Исследование поведения функции

Признак монотонности функции

Теорема 20. Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Если во всех внутренних точках промежутка производная функции положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Необходимость. Если функция f возрастает (убывает) на промежутке D (отрезке, интервале или полуинтервале) с концами в точках a и b, а x0ÎD, Dx>0, x0+DxÎD, то  (соответственно ), поэтому  (соответственно ). Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Следовательно,  (соответственно ). Перейдя к пределу при Dx®0, получим  (соответственно ).

Доказательство. Достаточность. Пусть , тогда по формуле Лагранжа, , где . Так как , то при  на  (откуда следует, в частности, ) будем иметь , т. е. функция f возрастает. Аналогично, при   на  имеем  и, следовательно, , т. е. функция f убывает.

Если   на , то  и поэтому , т. е. функция f строго возрастает. Если же  на , то , следовательно, , т. е. функция f строго убывает. □

Замечание. Условия  и  не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций . Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при x0=0 их производные обращаются в нуль.

Пример. Исследовать функции на монотонность:

1. .

2. .

3. .

4. .


Неопределенный интеграл лекции и задачи