Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Исследование поведения функции

Отыскание наибольших и наименьших значений функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0. Тогда x0 называется точкой максимума (точкой минимума) функции f, если существует такое d>0, что для всех Dx, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство  (неравенство ).

Если существует такое d>0, что для всех Dx¹0 таких, что , выполняется неравенство  (), то x0 называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Точки максимума (строгого максимума) и минимума (строгого минимума) называются точками экстремума (строгого экстремума). Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным. Тройные и двойные интегралы при решении задач

Теорема 21 (необходимые условия экстремума). Пусть x0 является точкой экстремума функции f, определённой в некоторой окрестности точки x0. Тогда либо производная  не существует, либо .

Доказательство. Действительно, если x0 является точкой экстремума для функции f, то найдётся такая окрестность , что значение функции f в точке x0 будет наибольшим или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x0 существует производная, то она, согласно теореме Ферма, равна нулю. □

Замечание. Условие  не является (для дифференцируемой при x = x0 функции) достаточным условием наличия экстремума, как это показывает пример функции , которая при x = 0 имеет производную, равную нулю, но для которой x0 = 0 не является точкой экстремума.

Теорема 22 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки , в которой она является, однако, непрерывной. Если производная  меняет знак при переходе через x0 (это означает, что существует такое число d>0, что значения производной f имеют один и тот же знак всюду в  и противоположный знак для всех ), то x0 является точкой строгого экстремума.

При этом если при  выполняется неравенство , а при  – неравенство , то x0 является точкой строгого максимума, а если при  выполняется неравенство , а при  – неравенство , то x0 является точкой строгого минимума.

Доказательство. Рассмотрим случай  для x < x0 и  для x > x0, где x принадлежит окрестности точки x0, указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа

 ,

где x лежит на интервале с концами x0 и x.

Если x < x0, то x–x0 < 0 и , так как . Если x > x0, то x–x0 > 0 и , так как в этом случае . Таким образом, всегда Df < 0, т. е. точка x0 является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай.


Неопределенный интеграл лекции и задачи