Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Исследование поведения функции

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на интервале  и пусть . Проведём прямую через точки , лежащие на графике функции f. Её уравнение имеет вид

 .

Обозначим правую часть этого уравнения через ; тогда оно кратко запишется в виде . Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным. Тройные и двойные интегралы при решении задач

Очевидно, .

Функция f называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если, каковы бы ни были точки x1 и x2, , для любой точки  выполняется неравенство

   (33.1)

соответственно неравенство

 ). (33.2)

Геометрически это означает, что любая точка хорды AB (т. е. отрезка прямой   с концами в точках A и B) лежит не выше (не ниже) точки графика функции f, соответствующей тому же значению аргумента.

Если вместо (33.1) и (33.2) выполняются строгие неравенства  и соответственно  при любых x0, x1 и x2 таких, что , то функция f называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интервале .

В этом случае любая точка хорды AB, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.


Неопределенный интеграл лекции и задачи