Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Исследование поведения функции

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами: Тройные и двойные интегралы при решении задач

Теорема 23 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть функция f дважды дифференцируема на интервале . Тогда, если  на , то функция f строго выпукла вверх, а если  на , то функция f строго выпукла вниз на этом интервале.

Доказательство. Пусть . Тогда

 

 .

Применяя теорему Лагранжа, получаем

 

 .

Воспользуемся снова теоремой Лагранжа:

  .

Отсюда видно, что если  на , следовательно, в частности, , то , т. е. функция f строго выпукла вверх; если же   на , то , т. е. функция f строго выпукла вниз. □

Замечание 1. Из доказательства теоремы 23 видно, что если условие положительности второй производной на интервале заменить условием её неотрицательности, то функция будет выпукла вниз (вообще говоря, нестрого) на этом интервале. Соответственно, если вторая производная неположительна на интервале, то функция выпукла вверх на этом интервале.

Замечание 2. Условие сохранения знака второй производной, являясь достаточным для строгой выпуклости (вверх или вниз), не является необходимым. Так, функция  строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако её вторая производная  обращается в нуль при x0=0.

Расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной также связано со знаком второй производной.


Неопределенный интеграл лекции и задачи