Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Исследование поведения функции

Теорема 24. Пусть функция f имеет на всем интервале  положительную (отрицательную) вторую производную:  (соответственно ), . Тогда, какова бы ни была точка , все точки , графика функции f лежат выше (ниже) касательной, проведённой к нему в точке , кроме, конечно, самой этой точки, которая лежит на указанной касательной.

Пусть функция f дифференцируема при x=x0 и пусть  – уравнение касательной к графику функции f в точке . Если разность   меняет знак при переходе через точку x0, то x0 называется точкой перегиба функции f.

Теорема 25 (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю. Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z. Тройные и двойные интегралы при решении задач

Доказательство. Действительно, пусть функция f имеет в точке x0 вторую производную и   – уравнение касательной к графику функции f в точке , т. е.

 .

Тогда, в силу формулы Тейлора,

 .

Если , то знак разности  в некоторой окрестности точки x0 совпадает со знаком числа . В этом случае разность  не меняет знака в точке x0 и, следовательно, эта точка не является точкой перегиба. Итак, если x0 – точка перегиба функции f, то . □

Замечание 3. Подобно тому, как все точки экстремума функции принадлежат множеству точек, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции (дважды дифференцируемой для всех значений аргумента, кроме, быть может, конечного числа его значений) входят во множество точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.


Неопределенный интеграл лекции и задачи