Математика Математический анализ Предел функции Физический смысл производной Дифференциалы высших порядков Исследование поведения функции Построение графиков функций Интегрирование подстановкой Интегрирование по частям

Производная и дифференциал лекции и примеры

Общая схема построения графиков функции

Асимптоты

Пусть функция  определена для всех x > a (соответственно для всех x < a). Если существуют такие числа k и l, что  (при x ® –¥) то прямая

  (34.1)

называется асимптотой функции  при x ® +¥ (при x ®¥). Вычислить объем эллипсоида Тройные и двойные интегралы при решении задач

Существование асимптоты графика функции означает, что при x ® +¥ (или x ® –¥) функция ведет себя «почти как линейная функция», т. е. отличается от линейной функции на бесконечно малую.

Пусть график функции f имеет асимптоту (34.1) при x®+¥. Тогда, по определению,

 . (34.2)

Разделим обе части равенства (34.2) на x и перейдём к пределу при x ® +¥. Тогда

 . (34.3)

Используя найденное значение k, получим из (34.2) для определения l формулу

 . (34.4)

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняет условие (34.4), то прямая  является асимптотой графика функции . В самом деле, из (34.4) имеем

  ,

т. е. прямая  действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие (34.2).

Пусть функция f определена в некоторой окрестности или проколотой окрестности точки x0 (быть может, односторонней) и пусть выполнено хотя бы одно из условий

 .

Тогда прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой функции f
(в отличие от асимптоты вида (34.1), которая называется также наклонной асимптотой).


Неопределенный интеграл лекции и задачи